LABORATORIO INFORMATICO

Ho creato con Google Documents un fac-simile del foglio elettronico che si potrebbe proporre agli studenti.
E' visitabile all'indirizzo
http://spreadsheets.google.com/ccc?key=pdE7ylWXwkqEywRvNbQVMHA&hl=it.


Si tenga presente che si sono usate le semplicissime funzioni messe a disposizione dallo strumento, ma che con prodotti più prestanti si potrebbero ottenere risultati ancora migliori.

Inserendo i dati relativi a vincite e probabilità di due progetti, il foglio elettronico calcola in automatico frequenze cumulate e loro somma; verifica quindi se sussistono le condizioni di dominanza stocastica di A su B del primo/secondo ordine.
Visivamente, le celle cambiano colore da verde a rosso o viceversa, a seconda che l'esito del test sia positivo/negativo.
N.B: se A non domina B, non è detto il contrario, come abbiamo già sottolineato.
E' bene scambiare i dati relativi ai due progetti e ripetere il test.

Una volta fatto creare agli studenti il proprio foglio di calcolo, si può, per esempio, far loro valutare gli esempi visti a lezione o il terzo degli esercizi proposti.

ESERCIZI PROPOSTI

esercizio 1
Date le somme aleatorie:

C1 = € 20,00 con prob. 50%, € 30,00 con prob. 33% e € 50,00 con prob. 17%, esigibile all'epoca 1;

C2 = € 35,00 con prob. 12,5% € 20,00 con prob. 5% e € 40,00 con prob. 87,5%, esigibile all'epoca 2.

Posto che il tasso di interesse di mercato sia pari al 6,00% annuo, calcolare:

1) il valore medio delle due somme

2) l'alternativa preferibile.

Svolgimento
dati: i=0.06

PROSPETTO	VINCITE	E PROBA	BILITA'
C1	20.00	30.00	50.00
P C1	0.500	0.330	0,170
C1	35.00	20.00	40.00
P C1	0.075	0.050	0,875

Soluzione:
Avg1=28.40
Avg2=38.63
E' preferibile l'alternativa 2.



Esercizio 2
Un individuo con funzione di utilità u(x)= ln(x^2+1) giudica indifferenti le seguenti alternative:

A. vincere € 300,00 con probabilità 1/5 o € 70,00 con probabilità 4/5;

B. vincere € 125,00 con probabilità 1/4 o € x con probabilità 3/4.

Sapendo inoltre che esiste un’alternativa C
[€1.500 con probabilità 1/10, €3x con probabilità 1/2 e €320 con probabilità 2/5], calcolare:

1) il valore di x;

2) l'utilità dell'alternativa C.


Soluzione
u(A)=9.08
u(B)=9.08
u(C)=11.62





esercizio 3
Si considerino le variabili casuali X1, X2 ed X3, che assumono i valori [1; 5; 8; 9] con probabilità rispettivamente [0,10; 0,30; 0,20; 0,40] , [0,10; 0,10; 0,32; 0,48],
[0,10; 0,22; 0,36; 0,32].

Determinare:

1) se fra le variabili esistono condizioni di dominanza stocastica del primo ordine;

2) se fra le variabili esistono condizioni di dominanza stocastica del second'ordine.

Vincite X1	π	Π	∑Π
1	0.10	0.10	0.10
5	0.30	0.40	0.50
8	0.20	0.60	1.10
9	0.40	1.00	2.10

Vincite X2	π	Π	∑Π
1	0.10	0.10	0.10
5	0.10	0.20	0.30
8	0.32	0.52	0.82
9	0.48	1.00	1.82

Vincite X3	π	Π	∑Π
1	0.10	0.10	0.10
5	0.22	0.32	0.42
8	0.36	0.68	1.10
9	0.32	1.00	2.10

Soluzione:
X2>X1 e di conseguenza anche al 2°ordine
X2>X3 e di conseguenza anche al 2°ordine
X1≈X3 al 1° ordine, ma al 2° X3>X1

Fase 4 VERIFICA

DOMANDE

1. La funzione di utilità di un individuo sia u = x^¼. La sua ricchezza iniziale x0 è pari a 10.
Egli è inoltre soggetto al seguente rischio: con uguale probabilità la sua ricchezza può aumentare o diminuire di 3.
Determinate:

(1) il coeffciente di avversione assoluta e relativa al rischio per questo individuo;
(2) l’equivalente di certezza e il premio al rischio che egli è disposto a pagare. Se un altro individuo ha una funzione di utilità u = x^½ è più o meno avverso al rischio del secondo?
Come potreste stabilirlo rigorosamente?

2. Definite il criterio media-varianza. Siano date le due seguenti distribuzioni di probabilità, f(w) e g (w)

w	f(w)	w	g(w)
1	0.8	10	0.99
100	0.2	1000	0.01

Stabilite quale distribuzione è preferita se si impiega come criterio di scelta il criterio media-varianza.

3. Spiegate cosa si intende per dominanza stocastica. Impiegando le distribuzioni di probabilità definite nella precedente domanda, è possibile determinare quale distribuzione è preferita utilizzando la dominanza stocastica del secondo ordine?

4. Definite l’utilità attesa nel caso siano presenti due beni contingenti, y1 e y2, con le probabilità che si verifichino i due stati del mondo pari a π1 e π2.
Rappresentate le curve di indifferenza nel piano dei beni contingenti supponendo che l’individuo: (a) sia propenso al rischio;
(b) sia neutrale al rischio.

Determinate in ciascun caso il saggio marginale di sostituzione.

5. Un individuo afferma di scegliere le proprie azioni massimizzando la seguente funzione

V = (1 +y1)^π1 (1 +y2)^π2

Possiamo considerarlo un individuo che massimizza l’utilità attesa? Giustificate la vostra risposta.