Fase2 LEZIONE CENTRALE

Il presente lavoro sulla dominanza stocastica è pensato per le classi terminali dell'Istituto Tecnico Commerciale.

Tuttavia potrebbe, con poche modifiche, essere proposto anche in un Liceo Scientifico, a patto di voler dedicare tempo al presente argomento, che normalmente non vi viene affrontato.
Presupposti alla trattazione che segue sono:

• conoscenze di base di analisi matematica, con particolare riferimento ai concetti di derivata ed integrale.


• conoscenze di statistica quali variabili aleatorie, rispettive distribuzioni di probabilità e funzioni di ripartizione, media, varianza.

Non si tratta, tuttavia, di condizioni indispensabili alla comprensione dell'argomento. Volendo, l'insegnante può trattarlo in modo semplificato, anche prima di introdurre il concetto di integrale di una funzione reale di variabile reale. E' sufficiente, a tal proposito, che ci si limiti a distribuzioni discrete di probabilità, a partire dalle quali gli studenti siano in grado di ricavare le corrispondenti probabilità cumulate.
Ho maturato questa convinzione in seguito alla lettura di una lezione universitaria del professor Menoncin dell'Università di Brescia, cui mi sono largamente ispirato.
L'argomento così semplificato si presta molto bene anche ad attività in laboratorio d'informatica.
Con l'uso di poche semplici formule è possibile ottenere tabelle come quelle riprodotte di seguito, utili a risolvere la maggior parte degli esercizi proposti agli studenti.

L'intervento didattico si articola in 4 fasi, ciascuna della durata di 1 ora, oltre ad un momento destinato al recupero, della durata di 1 o 2 ore:

1. richiamo delle nozioni indispensabili, principalmente per mezzo di semplici situazioni esemplificative.


2. illustrazione del criterio di Dominanza stocastica e sua applicazione alla scelta tra più titoli aleatori. Esercizi ed esempi.


3. approfondimenti: confronto tra criterio del primo e del secondo ordine, relazione con altri criteri (valor medio, media-varianza). Esercizi ed esempi.


4. verifica inerente tutti i criteri di scelta in situazione di incertezza.


5. correzione della verifica ed eventuale recupero orale.

In questa sede vedrò di esplicitare, per quanto possibile, i due momenti più significativi, a mio modo di vedere: il nucleo della spiegazione dell'argomento (fase2) e la successiva verifica (fase4).

Fase2

1) La dominanza stocastica del primo ordine

Di fronte alla scelta fra più titoli, è facile dire quale preferire quando la probabilità di avere almeno un certo guadagno è sempre più elevata in una delle due lotterie. In questo caso, ovviamente, conviene scegliere la lotteria che presenta la probabilità più elevata.

Un esempio ci sarà di aiuto. Si debba scegliere tra i due titoli:

A = {100, 0.4; 150, 0.3; 200, 0.3}
B = {100, 0.6; 150, 0.3; 200, 0.1}

Date le lotterie A e B osserviamo che esse hanno entrambe gli stessi rendimenti, ma con diverse probabilità. Indicando con P (x ≥ X│L) la probabilità di vincere una cifra ALMENO uguale a X dato che si sta giocando la lotteria L, possiamo scrivere:

P(x ≥ 100│A) = 1, P(x ≥ 150│A) = 0.6, P(x ≥ 200│A) = 0.3,

P(x ≥ 100│B) = 1, P(x ≥ 150│B) = 0.4, P(x ≥ 200│B) = 0.1,

da cui osserviamo chiaramente che la lotteria A presenta sempre una probabilità di vittoria maggiore quando si confronta la probabilità di vincere almeno una data cifra. Quando ciò accade appare evidente scegliere la lotteria A rispetto alla lotteria B.

Sapendo che la probabilità che la variabile x assuma almeno il valore X è:

allora si può concludere che

P(x ≥ X│π1) > P(x ≥ X │π2) ⇔ 1 − Π1 > 1 − Π2 (X),

e, dunque, vale la seguente definizione.

Definizione 1 (dominanza stocastica del primo ordine) Se date due distribuzioni di probabilità Π1 e Π2 accade che:

Π1(x) ≥ Π2(x), ∀x ∈ Ω

allora si dice che Π2 domina stocasticamente Π1 al primo ordine (si parla di Dominanza Stocastica del Primo ordine - DSP ovvero First order Stochastic Dominance - FSD).

La dominanza stocastica si può, dunque, rappresentare per le lotterie A e B nel modo seguente:

	VINCITE	π	Π
	100	0.4	0.4
Lotteria A	150	0.3	0.7
	200	0.3	1.0

	VINCITE	π	Π
	100	0.6	0.6
Lotteria B	150	0.3	0.9
	200	0.1	1.0

da cui appare evidente che A è preferita a B poiché ΠA ≤ ΠB.
Ogni agente economico che abbia una funzione di utilità attesa strettamente crescente deve, allora, preferire la lotteria la cui distribuzione di probabilità domina stocasticamente le altre (almeno al primo ordine fin qui definito).

Proposizione 2 Per qualsiasi utilità attesa U (x) crescente, la distribuzione Π2(x) domina stocasticamente la distribuzione Π1(x) al primo ordine se e solo se

∫Ω U (x) dΠ2 (x) ≥ ∫Ω U (x) dΠ1 (x) ,

ovvero E[U (x)π1] ≥ E[U (x)π2].

N.B:Se l’utilità è STRETTAMENTE crescente allora vale il segno di disuguaglianza stretta.

Applichiamo questo criterio alle lotterie suesposte A e B, utilizzando la funzione utilità logaritmo (che è una funzione strettamente crescente):

E[ln (A)] =0.4 ln 100 + 0.3 ln 150 + 0.3 ln 200 ≈4.93,
E[ln (B)] =0.6 ln 100 + 0.3 ln 150 + 0.1 ln 200 ≈4.80,

da cui concludiamo che la lotteria A è preferita alla lotteria B (come avevamo già avuto modo di osservare).

2) La dominanza stocastica del secondo ordine

Riprendiamo il caso di due lotterie ma, questa volta, fatte come segue:

A = {100, 0.5; 150, 0.3; 200, 0.2}
B = {100, 0.6; 150, 0.1; 200, 0.3}

per le quali le probabilità cumulate valgono

P(x ≥ 100│A) = 1, P(x ≥ 150│A) = 0.5, P(x ≥ 200│A) = 0.2,

P(x ≥ 100│B) = 1, P(x ≥ 150│B) = 0.4, P(x ≥ 200│B) = 0.3.

E’ evidente che, in questo caso, non si può utilizzare il criterio della dominanza stocastica del primo ordine. Infatti le due distribuzioni si incrociano e non si può affermare che una sia sempre non inferiore all’altra. Come procedere in questo caso?

Nell’esempio, appare evidente che fino al livello di guadagno almeno pari a 150 preferisco la lotteria A che offre una probabilità di vincita maggiore. Quando, tuttavia, passo a considerare un guadagno almeno pari a 200 la lotteria più conveniente diviene la B.

Nel paragrafo precedente al fine di confrontare due probabilità ne abbiamo confrontato le funzioni di distribuzione (cumulata). Ricordandoci che le funzioni di distribuzione sono l’integrale (la somma) delle funzioni di densità, sembra naturale, ancora una volta, calcolare un integrale per determinare il confronto.

Nel caso precedente avevamo concluso che qualora valesse:

Π1(z) ≥ Π2(z),

preferiremmo la distribuzione π2. Allo stesso modo, possiamo concludere che se vale:


allora la distribuzione π2 è preferita rispetto a π1 secondo una definizione di dominanza stocastica del secondo ordine.

Nel caso delle lotterie A e B abbiamo:

	VINCITE	π	Π	∑Π
	100	0.5	0.5	0.5
Lotteria A	150	0.3	0.8	1.3
	200	0.2	1.0	2.3

	VINCITE	π	Π	∑Π
	100	0.6	0.6	0.6
Lotteria B	150	0.1	0.7	1.3
	200	0.3	1.0	2.3

da cui osserviamo che, pur non potendo concludere al livello della dominanza del primo ordine, possiamo concludere circa la dominanza stocastica del secondo ordine che ci fa preferire la lotteria A rispetto alla lotteria B.

Vale, allora, la definizione seguente.

Definizione 3 (dominanza stocastica del secondo ordine) Se date due distribuzioni di probabilità Π1 e Π2 accade che

,∀y ∈ Ω

allora si dice che Π2 domina stocasticamente Π1 al secondo ordine (si parla di Dominanza Stocastica del Secondo ordine - DSS ovvero Second order Stochastic Dominance - SSD).

Uno dei risultati più interessanti riguardo la dominanza stocastica del secondo ordine è il seguente.

Proposizione 4 Per qualsiasi utilità attesa U (x) crescente e concava, la distribuzione Π2 (x) domina stocasticamente la distribuzione Π1 (x) al secondo ordine se e solo se

∫Ω U (x) dΠ2 (x) ≥ ∫Ω U (x) dΠ1 (x) ,

Se l’utilità è STRETTAMENTE concava allora vale il segno di disuguaglianza stretta.

ovvero

E[U (x)│π1] ≥ E[U (x)│π2].

Possiamo utilizzare, ancora una volta, una funzione di utilità logaritmo per verificare che l’utilità attesa di A è maggiore dell’utilità attesa di B:

E[ln (A)] =0.5 ln 100 + 0.3 ln 150 + 0.2 ln 200 ≈4.87,

E[ln (B)] =0.6 ln 100 + 0.1 ln 150 + 0.3 ln 200 ≈4.85.

Si nota che valore atteso e varianza delle due lotterie sono

E[A]=100 · 0.5 + 150 · 0.3 + 200 · 0.2 = 135,
V[A]=(100 − 135)^2 · 0.5 + (150 − 135)^2 · 0.3 + (200 − 135)^2 · 0.2 = 1525,

E[B]=100 · 0.6 + 150 · 0.1 + 200 · 0.3 = 135,
V[B]=(100 − 135)^2 · 0.6 + (150 − 135)^2 · 0.1 + (200 − 135)^2 · 0.3 = 2025.

Questi risultati ci dicono che un soggetto con funzione di utilità concava è avverso alla volatilità.

N.B: Dagli esempi fatti si nota come la relazione di dominanza stocastica (del primo o del secondo ordine) NON E’ COMPLETA. Questo significa che NON VALE la proprietà per cui A <DS B oppure B >DS A (dove DS indica la dominanza stocastica). Esistono invece titoli non confrontabili, né al primo né al second'ordine.

E’ possibile, in questi casi, definire livelli anche superiori di dominanza stocastica; tuttavia essi coincidono con ipotesi sempre più restrittive sulla forma della funzione di utilità.

Dato un insieme di T portafogli aleatori (o di fondi comuni) l’applicazione di ciascun criterio di dominanza stocastica richiede di sviluppare (T2) confronti a due a due al fine di ottenere un sottoinsieme di fondi da considerare efficiente in base al criterio utilizzato. Dato che un punto di vista pratico l’esecuzione di tutti questi confronti può richiedere una gran mole di calcoli, si possono tenere presente degli accorgimenti che possono ridurre il numero dei confronti.
L’obiettivo fondamentale è di ottenere un sottoinsieme efficiente di numerosità minima e quindi si possono eliminare una volta per sempre tutti quei fondi che risultano dominati da un qualche fondo in base a un qualche criterio.
Un altro accorgimento che può far risparmiare notevolmente sui tempi di calcolo è collegato con la proprietà che afferma che per avere dominanza di X su Y si deve avere E(X) ≥ E(Y).

Una proprietà utile per snellire la mole di conti riguarda il “problema della coda sinistra della
distribuzione”: per avere dominanza stocastica di qualsiasi ordine del fondo X sul fondo Y la più piccola realizzazione di X deve essere maggiore o uguale della più piccola realizzazione di Y .
Si noti che quest’ultima proprietà se da un lato consente di snellire in modo sensibile i confronti d’altro canto costituisce uno dei limiti più critici per tutti i criteri di dominanza stocastica: se anche in un solo periodo un fondo si è comportato male non riuscirà mai a riscattarsi ed entrare a far parte dell’insieme dei fondi dominanti.
Per una trattazione più approfondita dell'argomento, si faccia riferimento a testi di livello universitario quali, per esempio:

1. A.Basso, P.Pianca, “Appunti di Matematica Finanziaria”, CEDAM
2. F.Cacciafesta, “Lezioni di Matematica Finanziaria Classica e Moderna”, Giappichelli
3. S.Stefani, A.Torriero, G.Zambruno, “Elementi di Matematica Finanziaria e cenni diProgrammazione Lineare”, Giappichelli
4. E.Canestrelli, C.Nardelli, “Criteri per la Selezione del Portafoglio”, Giappichelli
5. P.Pianca, “Elementi di Teoria delle Opzioni Finanziarie”, Giappichelli
   
   Anche su internet si trova del materiale dello stesso Pianca e altri.